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分贝速算

分贝（decibel，dB）是一种用来表示相对比例的计量单位，常用于描述无线电功率、信号强度以及声强等物理量。

分贝的定义

分贝原始定义是用来描述两个物理量的比值的。用以描述功率时，其定义如下（IEC 60027-3:2002） \(L_P=10\lg\frac{P}{P_0}\,{\rm dB}\)

其中 P, P~0~ 分别表示两个用来比较的功率值，而 lg 表示以10为底的对数。

用来表示电压时，对于恒定阻抗的负载$R$，电压$V$与功率$P$的关系为 \(P=\frac{V^2}{R}\)

因此分贝用来表示电压时表达式变成 \(L_V=10\lg\frac{P}{P_0}\,{\rm dB}=10\lg(\frac{V}{V_0})^2\,{\rm dB}=20\lg\frac{V}{V_0}\,{\rm dB}\)

其前面的系数变成了20。

对数的速算方法

计算分贝需要用到对数。对数的简单定义为：若$a^b=c$，则$\log_ac=b$。对于前式，$a$和$c$可分别被称为底数和真数。

对数有以下常用等式

  • \[\log_x(ab)=\log_xa+\log_xb\]
  • \[\log_x\frac ab=\log_xa-\log_xb\]
  • \[\log_x(a^b)=b\log_xa\]
  • \[\log_x\sqrt[a]b=\frac{\log_xb}a\]
  • 换底公式 \(\log_ab=\frac{\log_xb}{\log_xa}\)

对数有两个常用的底数，一个是自然常数 \(e=\lim_{n\to\infty}(1+\frac1n)^n\approx2.718\) 以e为底的对数称为自然对数，可写作 ln ；一个是10，以10为底的对数可称作常用对数，本文统一记作 lg 。以前者为底数的对数有很多有趣的性质，有兴趣的读者可自行搜索，本文不做展开。以10为底的对数则在工程中应用广泛。

对数的精确运算较为复杂，在实际的工程应用中，可以有一些简单快速的估算方法。使用快速估算方法需要记住以下四个数字： \(\lg1=0,\quad\lg2\approx0.301\approx0.3,\quad\lg3\approx0.477,\quad\lg10=1\)

接下来即可使用前文提到的若干常用等式估算一个数字的常用对数了。比如

  • \[\lg4=\lg(2^2)=2\lg2\approx0.602\approx0.6\]
  • \[\lg5=\lg(10/2)=\lg10-\lg2\approx0.699\approx0.7\]
  • \[\lg6=\lg(2\times3)=\lg2+\lg3\approx0.778\]
  • \[\lg8=\lg(2^3)=3\lg2\approx0.903\]
  • \[\lg9=\lg(3^2)=2\lg3\approx0.954\]

可以看出，若干可以被分解为2、3与10相乘除得到的数字可以使用简单的加减法进行常用对数值的估算。而对于不能做上述分解的数字，如一些质数，根据对数函数的单调性，可采用迫敛逼近的方法进行估算。如 lg7，已知 \(\lg6<\lg7<\lg8\) \(\lg6=\lg2+\lg3\approx0.778\) \(\lg8=lg(2^3)\approx0.903\) 则预估 lg7 约为0.8左右。若觉得精度不够，还可以进一步逼近，如 \(\lg6.4<\lg7<7.2\) \(\lg6.4=\lg(64\div10)=\lg(2^6\div10)=6\lg2-\lg10\approx6\times0.301-1\approx0.806\) \(\lg7.2=\lg(2^3\times3^2\div10)=3\lg2+2\lg3-\lg10\approx3\times0.301+2\times0.477-1\approx0.857\) 以此类推。lg7 的值约等于0.845，可以看到，前面的计算可以越来越精确地求得需要的值。

一些常用的、和分贝有关的单位

根据前文所述，分贝是一个相对单位，表示一个比值。但是日常生活中经常会听到一些用分贝来表示绝对物理量的场景。这些究竟是怎么回事呢？

声强级 分贝

对于声强，人们经常用分贝来表示，比如1类声环境功能区日间噪声上限为55dB（GB 3096-2008）、喷气式飞机起飞时飞机座舱内的噪声可达到110dB等。在这种情况下用分贝表示声强，前提是声强公式 \(L_I=10\lg\frac{I}{I_0}\,{\rm dB}\)

中的基准声强 \(I_0=10^{-12}{\rm W/m^2}\) 已经确定了，因此可以用分贝来表示声强这一绝对物理量。

dBm dBμV

在无线电、光学等领域，经常用dBm表示功率。dBm计算中的 \(P_0=1{\rm mW}\) 由上面的各种公式可以简单计算得到，1W=30dBm，2W=33dBm，5W=37dBm，100W=50dBm等。相类似地还要dBμ（dBu）、dBW等单位，dBW以1W为基准，dBμ以1μW为基准等。

若表示电压的大小，则可使用dBV、dBμV这样的单位。注意电压用分贝表示，需要给比值对数乘的系数是20。如1mV=60dBμV等。

dBi dBd

在无线电领域，使用dBi和dBd表示天线增益。其中，dBi表示某天线相对理想点状全向天线的增益，dBd表示某天线相对理想偶极天线最大增益方向的增益。其中0dBd=2.15dBi。简易测量某天线的增益的方法也比较直观，就是在某处放一个发射源，在若干距离外放一个接收机，分别接上待测天线和一个标准偶极天线，看接收机收到的信号幅值分别是多大，即可计算天线增益。